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第6页

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$解：由题意可知|ab-2|+(b-1)^{2}=0$

$解得a=2,b=1$

$原式=\frac{1}{2×1}+\frac{1}{3×2}+\frac{1}{4×3}+...+\frac{1}{2023×2022}$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2022}-\frac{1}{2023}$

$=1-\frac{1}{2023}$

$=\frac{2022}{2023}$

$解：因为a,b,c为整数，且(a-b)^{2}+(c-a)^{2}=1$

$ 所以分以下两种情况:$

$①a-b=0，|c-a|=1，即a=b$

$ |c-a|=|a-c|=|b-c|=1$

$ ②|a-b|=1,c-a=0，即a=c,|a-b|=|c-b|=|b-c|=1$

$ 所以|a-b|+|a-c|+|b-c|=1+1=2$