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第40页

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$证明：∵AD∥BC，$

$∴∠AEB=∠EBC，$

$∵∠A=90°，CF⊥BE，$

$∴∠A=∠CFB=90°，$

$∵BE=BC，$

$∴△ABE≌△FCB（AAS），$

$∴AB=FC．$

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$证明：过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，$

$∴∠AED=∠BFD=90°，$

$∵∠CAD+∠CBD=180°，∠CAD+∠EAD=180°，$

$∴∠CBD=∠EAD，$

$在△AED和△BFD中，$

$∠AED=∠BFD$

$∠EAD=∠FBD$

$AD=BD$

$∴△AED≌△BFD（AAS），$

$∴DE=DF，$

$∴点D在∠BCE的角平分线上，$

$∴CD平分∠ACB．$

$解:(1)AD=CD+AB．$

$理由：如图2，延长AM、DC相交于点F，$

$∵M是BC的中点，$

$∴CM=BM．$

$∵AB∥CD，$

$∴∠BCF=∠B，∠AMB=∠CMF．$

$在△ABM和△MCF中，$

$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠MCF}\\{BM=MC}\\{∠AMB=∠CMF}\end{array}\right.，$

$∴△ABM≌△MCF（ASA），$

$∴AB=CF，AM=MF．$

$∵AM平分∠BAD，$

$∴∠BAM=∠CAF，$

$∵AB∥CD，$

$∴∠F=∠BAM，$

$∴∠F=∠CAF，$

$∴AD=DF．$

$∵DF=DC+CF，$

$∴DF=AB+CD，$

$∴AD=AB+CD．$

$解:(2)过M作GH⊥AB于N，MI⊥AD，如图1：$

$∵∠H=90°，AM平分∠BAD，$

$∴MH=MI，$

$∵M为BC的中点，$

$∴BM=CM，$

$∴MH=MG，$

$∴MI=MG，$

$∴DM平分∠ADC．$

$解：BE平分∠ABC，理由如下：$

$延长AE交BC的延长线于F，如图，$

$∵∠1+∠CDB=∠2+∠EDA，$

$∵∠EDA=∠CDB，$

$∴∠1=∠2，$

$在△CBD和△CAF中，$

$∠1=∠2$

$CB=CA$

$∠BCD=∠ACF$

$∴△CBD≌△CAF（ASA），$

$∴BD=AF，$

$∵BD=2AE，$

$∴AE=EF，$

$∵AF⊥BE，$

$∴BE平分∠ABC．$

$解:如图(1)所示，$

$∵△PEC与△QFC全等，$

$∴ PC=QC.$

$∴ 6-t=8-3t.$

$解得t=1.$

$如图(2)所示，$

$∵点P与点Q重合，$

$∴△PEC与△QFC全等，$

$∴ 6-t=3t-8$

$解得t=\frac{7}{2}.$

$综上所述，当点P运动时间为1s或\frac{7}{2}\ \mathrm {s}时，$

$△PEC与△QFC全等.\ $

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