解：$(1)$火车从甲地开往乙地所用的时间：$t_1=16\ \mathrm {h}30 \mathrm {\mathrm {min}}-8\ \mathrm {h}30 \mathrm {\mathrm {min}}=8\ \mathrm {h}$；
平均速度：$v=\frac {s}{t_1}=\frac {800\ \mathrm {km}}{8\ \mathrm {h}}=100\ \mathrm {km/h}.$
$(2)144\ \mathrm {km/h}=144×\frac {1}{3.6}\ \mathrm {m/s}=40\ \mathrm {m/s}$
$(3)$火车过桥通过的总距离：$s=v_2t_2=40\ \mathrm {m/s}×45\ \mathrm {s}=1600\ \mathrm {m}$，
火车的长度：$s_{车}=s-s_{桥}=1600\ \mathrm {m}-1400\ \mathrm {m}=200\ \mathrm {m}.$
$(4)$火车在桥上行驶的时间$t'=\frac {s'}{v_{2}}=\frac {(1400-200)\ \mathrm {m}}{40\ \mathrm {m/s}}=30\ \mathrm {s}$
