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$4y^{2}$

$证明:(2)x^{2}-12x+37=(x-6)^{2}+1,∵(x-6)^{2}≥0，∴(x-6)^{2}+1＞0$

$∴无论x取何值，代数式x^{2}-12x+37的值是正数$

$(2)解:M-N=(2x^{2}+4x+5+y^{2})-(x^{2}+6x+4)=x^{2}-2x+1+y^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}$

$∵(x-1)^{2}≥0,y^{2}≥0,∴(x-1)^{2}+y^{2}≥0,∴M≥N$

$(4)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$ 解:∵m-n=4，mn=-3,∴m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}+2mn=10$

$ (m^{2}-4)(n^{2}-4)=(mn)^{2}-4(m^{2}+n)+16$

$ 当mn=-3,m^{2}+n^{2}=10时，原式=(-3)^{2}-4×10+16=-15$

$解:∵a^{2}+b^{2}+ab=6， ∴(a-b)^{2}+3ab=6，∴ab=2-\frac{1}{3}(a-b)^{2}$

$∵\frac{3}{2}＜ab＜\frac{5}{2}，∴\frac{3}{2}＜2-\frac{1}{3}(a-b)^{2}＜\frac{5}{2}$

$∴-\frac{3}{2}＜(a-b)^{2}＜\frac{3}{2}\ $

$∵a≠b,a-b为整数，∴a-b=1或a-b=-1$

$解:解第二个方程组得\begin{cases}{ x=m }\ \\ { y=m+n } \end{cases}$

$代入第一个方程组得\begin{cases}{ m+m(m+n)+1=0① }\ \\ { (m+1)m+n(m+n)=0② } \end{cases}$

$①+②得:m^{2}+2m+1+(m+n)^{2}=0\ $

$∴(m+1)^{2}+(m+n)^{2}=0$

$∴m+1=0,m+n=0，∴m=-1，n=1\ $

$∴m+2n=-1+2=1，∴m+2n的值为1 $