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第24页

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$\frac{5}{4} $

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$证明:如答图①，取AC的中点F，连接EF$

$则AF= \frac{1}{2}AC$

$∵Rt△ABC中，∠ACB=30°$

$∴AB=\frac{1}{2}AC,∠BAC=60°,∴AB=AF\ $

$∵△ADE是等边三角形,∴∠DAE=60°,AD=AE\ $

$∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=60°\ $

$∴∠BAD=∠FAE$

$在△ABD和△AFE中$

${{\begin{cases} {{AB=AF}} \\ {∠BAD=∠FAE} \\ {AD=AE} \end{cases}}}$

$∴△ABD≌△AFE(SAS),∴∠AFE=∠B=90°$

$∴EF垂直平分AC,∴AE=CE,∴DE=CE $

解:DE=CE

$解:如答图②$

$当点D与点B重合时，点E在点E'处，$

$此时E'是AC的中点\ $

$当点D与点C重合时，点E在点E''处，$

$此时△ACE''是等边三角形,由(1)得AE''=CE\ $

$∴点E始终落在线段AC的垂直平分线上\ $

$∴E'E''垂直平分AC$

$∴点E的运动路径是从AC的中点E'，$

$沿着AC的垂直平分线运动到点E''\ $

$在Rt△E'AE''和Rt△BAC中$

${{\begin{cases} {{AE''=AC}} \\ {AE'=AB} \end{cases}}}$

$∴Rt△E'AE''≌Rt△BAC(HL),∴E'E''=BC=\sqrt {3}$

$∴点E的运动路径长为 \sqrt{3} $