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解：$(1)$如图所示

得到的小三角形的个数分别为$4$、$5$、$6$

$(2)$分割$n$边形时，若取多边形边上一点

且该点为顶点时，该点与其他各顶点的连线

将该多边形分割成$(n-2)$个三角形，

若取多边形边上一点(非顶点)，该点与各顶点

的连线将该多边形分割成$(n-1)$个三角形；

若取多边形内部一点，则该点与各顶点的连线，

将该多边形分割成$n$个三角形

解：$(1)S $与$x$之间的关系式为$S=\frac 12x$

$(2)$如图所示，$S=\frac {1}{2}x+1$

$(3)S=\frac {1}{2}x+(n-1)$