解：$(1)$当滑片$P $位于最左端时，电路为定值电阻的简单电路，
根据欧姆定律可得此时通过电路的电流：$I=\frac {U}{R_2}=\frac {6V}{20 \ \mathrm {Ω}}=0.3A$，
$ $即电流表示数为$0.3A$；
$ (2)$滑片$P{每} $移动$1\ \mathrm {\ \mathrm {cm}}$，$R_1$的电阻变化$0.5 \ \mathrm {Ω}$，某同学测试时，从最左端推动滑片$P{向}$
$ $右移动$20\ \mathrm {cm}$，此时滑动变阻器接入电路的电阻：$R_1=0.5\ Ω\ \mathrm {/cm}×20\ \mathrm {cm}=10\ Ω$，
串联电路总电阻等于各部分电阻之和，根据欧姆定律可得此时通过电路的电流：
$ I'=\frac {U}{R_1+R_2}=\frac {6V}{10 \ \mathrm {Ω}+20 \ \mathrm {Ω}}=0.2A$，
此时滑动变阻器两端的电压：$U_1=I'R_1=0.2A×10 \ \mathrm {Ω}=2V$，
$ $即电压表示数为$2V$；
$ (3)$当电压表示数为$3V $时，滑动变阻器接入电路的阻值最大，电路电流最小，
因串联电路两端电压等于各部分电压之和，所以定值电阻$R_2$两端电压：$U_2=U-U_{V}=6V-3V=3V$，
电路中最小电流：$I_{小}=\frac {U_{V}}{R_{1最大}}=\frac {3V}{15 \ \mathrm {Ω}}=0.2A$，
根据欧姆定律可得此时定值电阻的阻值：$R_2'=\frac {U_2}{I_{小}}=\frac {3V}{0.2A}=15 \ \mathrm {Ω}$，
$ $已知电流表量程为$0～0.6A$，滑动变阻器允许通过的最大电流为$1A$，
$ $根据串联电路电流特点可知电路中的最大电流为$0.6A$，当滑动变阻器接入电路的阻值为$0$时，
电路电流最大，电路为定值电阻$R_2$的简单电路，
根据欧姆定律可得此时通过电路的电流：$I_{大}=\frac {U}{R_2'}=\frac {6V}{15 \ \mathrm {Ω}}=0.4A＜0.6A$，
所以既能保证电路各元件的安全，又能使滑片$P $移动到最右端，选取$R_2$时，其阻值不能小于$15 \ \mathrm {Ω}$。
