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第38页

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$P_{1},P_{4}$

72°

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$解：(2)设点P的坐标为(x，y).$

$因为点P与原点O 的“直角距离”d_{OP}=1，$

$所以|x|+|y|=1.$

$当x≥0,y≥0时，x+y=1，$

$即y=-x+1;$

$当x≥0,y＜0时，x-y=1，$

$即y=x-1;$

$当x＜0，y≥0时，-x+y=1，$

$即y=x+1;$

$当x＜0,y＜0时，-x-y=1，$

$即y=-x-1.$

$所以所有满足条件的点P组成的图形如图①.$

$解：(3)当t=3时，点C的坐标为(3，0).$

$因为d_{CD}=1，\ $

$所以由(2)得点D在正方形KLPQ的边上，$

$且C为QL 的中点，$

$如图②，$

$可得点 P 的坐标为(3,1)，$

$点 Q 的坐标为(2,0)，$

$点 K 的坐标为(3,-1)，$

$点L的坐标为(4,0).$

$因为直线y=kx+2经过点D，$

$所以由图②得当直线y=kx+2经过点P 时，$

$k 取最大值，记为 k_{1};$

$当直线 y=kx+2经过点 Q 时，$

$k 取最小值，记为 k_{2}，$

$即 3k_{1}+2=1,2k_{2}+2=0，$

$解得k_{1}=-\frac{1}{3},k_{2}=-1.$

$所以k的取值范围是-1≤k≤-\frac{1}{3}.$

$证明：(2)因为 DE是线段AC 的垂直平分线，$

$所以 EA =EC，$

$即△EAC 是等腰三角形.\ $

$所以∠EAC=∠C.$

$所以∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C.$

$因为∠B=2∠C，$

$所以∠AEB=∠B，$

$即△EAB是等腰三角形.$

$所以AE是△ABC的一条特异线.$

$解：(3)因为△ABC是特异三角形，$

$所以有BD是特异线或CE是特异线或AF是特异线三种情况. $

$当 BD是特异线时，$

$若AB=BD=CD(如图①)，$

$则∠A=∠ADB,∠C=∠CBD.$

$又∠A=30°,∠ADB = ∠C + ∠CBD,\ $

$所以∠C =\frac{1}{2}∠A=15°,$

$又∠A+∠C+∠ABC=180°,$

$所以∠ABC=180°-∠C-∠A=135°;$

$若AB=AD,CD=BD(如图②),$

$则∠ABD=∠ADB,∠C=∠CBD.$

$又∠A=30°,∠A+∠ABD+∠ADB = 180°，\ $

$所以 ∠ABD = ∠ADB =\frac{1}{2}(180°-∠A)=75°.$

$又∠ADB=∠C+∠CBD,$

$所以∠CBD=\frac{1}{2}∠ADB=37.5°.$

$所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=112.5°;$

$若AD=BD=CD(如图③)，$

$则此时∠ABC=90°,不符合题意，舍去;$

$当 CE是特异线时，AC＞CE,AC＞AE.$

$又∠B是钝角，$

$所以AE=CE,BC=BE，$

$即∠A= - ∠ACE, ∠BCE = ∠BEC.\ $

$又 ∠A = 30°, ∠BEC=∠A+∠ACE,$

$所以∠ACE=30°, ∠BCE=∠BEC=60°.$

$又∠BCE+∠BEC+ ∠ABC=180°，$

$所以∠ABC=180°-∠BCE- ∠BEC=60°,不符合题意，舍去;$

$当AF是特异线时，$

$因为∠B 是钝角，$

$所以AB=BF,AF= CF(如图④).\ $

$所以∠C=∠CAF,∠BAF= ∠BFA.\ $

$又∠BFA = ∠C + ∠CAF,\ $

$所以 ∠BAF=2∠CAF.$

$又∠BAC=30°,∠BAC= ∠BAF+∠CAF，$

$所以∠CAF=10°，$

$即∠C= 10°.$

$又∠C+∠BAC+∠ABC= 180°,$

$所以 ∠ABC=180°-∠C-∠BAC=140°.\ $

$综上， ∠ABC的度数为 135°或112.5°或140°. $

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