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第22页

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D

$S_{1}=S_{2} $

5

3

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$解：EK=DK.理由如下:$

$过点D作DH⊥AB,DF⊥ BC，$

$过点E作EI⊥AB，垂足分别为H,F,I,$

$则∠DHB=∠DFB=∠EI_{A }=∠CFD=∠EIK=∠DHK=90°.$

$因为AE=CD,∠EAB=∠ACB,$

$所以△AEI≌△CDF(\mathrm {AAS}).$

$所以 EI=DF.$

$又BD平分∠ABC，$

$所以∠DBH=∠DBF.$

$又BD=BD，$

$所以△BHD≌△BFD(\mathrm {AAS}).$

$所以 DH= DF，$

$即 DH=EI.\ $

$又∠EKI=∠DKH,$

$所以△EKI≌△DKH(\mathrm {AAS}).$

$所以EK=DK.$

$解：DN=BM+MN.$

$理由如下:$

$在边CD上取一点 E，$

$使DE=BM,连接AE.$

$因为四边形ABCD为正方形，$

$所以AB=AD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°.\ $

$又∠ABC+∠ABM=180°,$

$所以∠ABM=180°-∠ABC=90°,$

$即∠ABM=∠D.$

$所以△ABM≌△ADE(\mathrm {SAS}).$

$所以AM=AE, ∠BAM = ∠DAE.\ $

$所以 ∠BAM +∠BAE = ∠DAE + ∠BAE,\ $

$即∠MAE =∠BAD= 90°.\ $

$又∠MAN = 45°, ∠MAN+∠EAN = ∠MAE,\ $

$所以 ∠EAN = 45°，$

$即∠MAN=∠EAN.$

$又AN=AN,$

$所以△AMN≌△AEN(\mathrm {SAS}).$

$所以MN=EN.$

$又DN=DE+EN,$

$所以DN=BM+MN.$

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