$解：(1)延长 IC，交BE于点J，$ $分别过A,D两点作直线 IC 的垂线，垂足分别为 M,N,$ $则∠M=∠DNC=∠DNI=90°.$ $因为IC⊥BE,$ $所以∠CJB=∠CJE=90°，$ $即∠M=∠CJB,∠DNC=∠CJE,$ $因为△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，$ $所以 AC=CB，∠ACM+∠BCJ= 180°-∠ACB=90°.\ $ $又∠CBJ +∠BCJ=90°,$ $所以∠CBJ=∠ACM.$ $在△ACM和△CBJ 中，$ $\begin{cases}{∠M=∠CJB，}\\{∠ACM=∠CBJ，}\\{AC=CB，\ }\end{cases}$ $所以△ACM≌△CBJ (\mathrm {AAS}).$ $所以 AM=CJ.\ $ $同理可证DN =CJ.\ $ $所以 AM = DN.\ $ $在△AMI 和△DNI 中,$ $\begin{cases}{∠AMI=∠DNI,\ }\\{∠AIM=∠DIN,}\\{AM=DN,\ }\end{cases}$ $所以△AMI≌△DNI(\mathrm {AAS}).$ $所以AI=DI，$ $即I为AD的中点$
$解：(2)延长CI至点F，使 IF=IC，连接AF.$ $在△AIF 和△DIC 中,$ $\begin{cases}{AI=DI,}\\{∠AIF=∠DIC，}\\{IF=IC，}\end{cases}$ $所以△AIF≌△DIC(\mathrm {SAS}).$ $所以AF=DC,∠F=∠DCI.\ $ $所以∠ACD = ∠ACF+∠DCI =∠ACF+∠F=180°-∠FAC.$ $因为△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE=90°，$ $所以AC=CB,CE=DC,$ $所以AF=CE.$ $又因为∠ACD=360°-∠ACB-∠DCE-∠ECB=180°-∠ECB，$ $所以∠FAC=∠ECB.$ $在△FAC和△ECB 中，$ $\begin{cases}{AF=CE,}\\{∠FAC=∠ECB，}\\{AC=CB，}\end{cases}$ $所以△FAC ≌△ECB (\mathrm {SAS}).$ $所以 ∠ACF =∠CBE.$ $延长 IC，交 BE 于点K,$ $则∠ACF+∠BCK=180°-∠ACB=90°.$ $所以∠CBE+∠BCK=90°.$ $所以∠CKB=180°-(∠CBE+∠BCK)=90°，$ $即IC⊥BE.$
$证明：(1)因为∠MAN=90°,CF⊥AE,BD⊥AE,$ $所 以∠BAD+∠CAF=90°,$ $∠ADB=∠CFA=90°.\ $ $所以 ∠ABD + ∠BAD = 90°.$ $所 以∠ABD=∠CAF.\ $ $在△ABD 和△CAF 中,$ $\begin{cases}{∠ADB=∠CFA,\ }\\{∠ABD=∠CAF，}\\{AB=CA,}\end{cases}$ $所以△ABD≌△CAF(\mathrm {AAS}).$
$证明：(2)因为∠1=∠2=∠BAC,$ $∠1=∠BAE+ ∠ABE,$ $∠BAC=∠BAE+∠CAF,$ $∠2=∠ACF+ ∠CAF，$ $所以∠ABE = ∠CAF,$ $∠BAE=∠ACF.\ $ $在△BAE 和△ACF中,$ $\begin{cases}{∠ABE=∠CAF,\ }\\{AB=CA,\ }\\{∠BAE=∠ACF,}\end{cases}$ $所以△BAE≌△ACF(\mathrm {ASA}).$
$解：(3)因为△ABC的面积为15,CD=2BD，$ $所以 △ABD的面积为\frac{1}{3}×15=5.$ $由(2)得△BAE≌ △ACF，$ $所以 S_{△BAE}=S_{△ACF}.$ $所以 S_{△ACF}+S_{△BDE}$ $=S_{△BAE} +S_{△BDE}$ $= S_{△ABD}$ $=5.$ $所以△ACF与△BDE的面积之和为5.$
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