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第64页

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$证明:由(1)知AE=BE，BM=GM，$

$AD=CD，CN= GN$

$∴EM=\frac{1}{2}AG，DN=\frac{1}{2}AG，$

$∴EM=DN.\ $

$∵EM//DN，$

$∴∠MEG=∠DNG，∠EMG=∠NDG，$

$∴△EMG≌△NDG(ASA)，$

$∴EG=GN，∴CG=2EG.$

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10cm

10.5s

$解:(2)设∠ABE=x，则∠DBF=2x，$

$ 由(1)，得四边形ABCD为平行四边形，∴OB=OD.$

$ ∵EF⊥BD，∴BE=DE，∴∠EBD=∠EDB.$

$ ∵AD//BC，∴∠EDB=∠DBF，$

$ ∴∠EBD=∠EDB=∠DBF=2x.$

$ ∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB=180°，$

$ ∴100°+x+2x+2x=180°.$

$ 解得x=16°，即∠ABE=16°.$

$解:(2)∵AD//BC，∠B=90°，$

$且四边形ABQP是矩形，\ $

$∴AP=BQ，即t=21-2t，解得t=7.$

$(3)由题意，得当t=5s时，\ $

$PD=15-5×1=10，CQ=2×5=10，$

$∴PD=CQ.\ $

$∵AD//BC，∴四边形PQCD是平行四边形.\ $

$∵CD=10，∴PD=CD，$

$∴四边形PQCD是菱形.$

$证明:(1)∵AD//BC，$

$∴∠OAD=∠OCB.\ $

$在△AOD和△COB中，$

$\begin{cases}{∠OAD=∠OCB,\ \ }\ \\ {\ AO=CO, }\\{∠AOD=∠COB,\ } \end{cases}\ $

$∴△AOD≌△COB(ASA)，\ $

$∴AD=CB.\ $

$又AD//BC，∴四边形ABCD为平行四边形.$

$证明:∵四边形ABCD是正方形，\ $

$∴AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°.\ $

$在△ABE和△CBE中，\ $

$\begin{cases}{AB=CB,\ \ }\ \\ {∠ABE=∠CBE,\ \ }\\{BE=BE,\ } \end{cases}\ $

$∴△ABE≌△CBE(SAS)，$

$∴AE=CE. $

$解:点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形理由如下，$

$由折叠的性质，得∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，$

$∵∠BAD=90°，E是BD的中点，\ $

$∴AE=\frac{1}{2} BD=BE=DE.\ $

$∵BF=BE，$

$∴AE=BE=AF=BF，\ $

$∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，$

$∴AE⊥BD，$

$∴∠AEB=90°.\ $

$∴四边形AFBE是正方形$

$证明:如图，连接AG，\ $

$∵BD、CE分别为△ABC的中线，点M、N分别是BG、CG的中点，\ $

$∴AE=BE，BM=GM，AD=CD，CN=GN，\ $

$∴EM//AG，DN//AG，$

$∴EM//DN.$