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$证明:∵BE=2DE，EF=BE，$

$∴EF=2DE.$

$ ∵D、E分别是AB、AC的中点，$

$ ∴BC=2DE且DE//BC.$

$∴EF=BC，又EF//BC.$

$ ∴四边形BCFE是平行四边形.$

$ 又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形.$

$解:EF//AC，且EF=AC.理由如下，\ $

$∵ED是△ABC的中位线，$

$∴DE//AC，DE=\frac{1}{2}AC.$

$∵GF//AD，∴四边形AGFD是平行四边形.\ $

$∴DF=AG=\frac{1}{2}AC.$

$∴DF=DE=\frac{1}{2} EF=\frac{1}{2}AC.$

$∴AC//EF，AC=EF.$

$解:结论成立$

(3)$解:四边形EFGH是菱形.理由如下:\ $

$连接AC、BD.\ $

$∵四边形ABCD为等腰梯形，$

$∴AC=BD.\ $

$同(1)可证四边形EFGH是平行四边形.$

$又EF是△ABD的中位线，$

$∴EF= \frac{1}{2} BD.\ $

$又EH是△ADC的中位线.$

$∴EH= \frac{1}{2} AC.\ $

$∴EF=EH.∴四边形EFGH是菱形.$

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$证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，$

$AB=AD，\ $

$∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD.$

$解:(2)∵点E、F分别为AD、AO的中点，\ $

$∴EF是△AOD的中位线，∴OD=2EF=3.\ $

$由(1)可知，四边形ABCD是菱形，\ $

$∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，$

$BD=2OD=6.\ $

$在Rt△AOD中，由勾股定理，\ $

$得AD= \sqrt{AO²+OD²} = \sqrt{2²+3²} = \sqrt{13}\ $

$∴菱形ABCD的周长=4AD=4 \sqrt{13} .$

$解:四边形EFGH是平行四边形.理由如下:\ $

$连接BD.\ $

$∵点E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，\ $

$∴EF是△ABD的中位线，GH是△BCD的中位线.\ $

$∴EF=\frac{1}{2}BD，EF//BD，GH=\frac{1}{2} BD，GH//BD.\ $

$∴EF=GH，EF//GH.\ $

$∴四边形EFGH是平行四边形.$