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第56页

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$证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴AB=CD，AB//CD.\ $

$∵M、N分别为AB和CD的中点，\ $

$∴AM=\frac{1}{2}AB，CN=\frac{1}{2}CD.∴AM=CN.$

$∵AB//CD，∴四边形AMCN是平行四边形.$

$解:(2)AC⊥BC时，四边形AMCN是菱形，$

$理由如下，\ $

$∵AC⊥BC，且M是AB的中点，AM=CN，\ $

$∴∠ACB=90°，CM=\frac{1}{2}AB=AM=CN，\ $

$∴平行四边形AMCN是菱形.$

$解:如图，过点C作CN⊥BF于点N，过点C作$

$CM⊥ED于点M.$

$ 由(1)，得∠ADE=∠DBF，$

$ ∴∠CBF=60°+∠DBF=60°+∠ADE=∠DEB.$

$ 又∠DEB=∠MDC，∴∠CBF=∠CDM.$

$ ∵BC=CD，∠CBF=∠CDM，$

$∠CNB=∠CMD=90°，$

$∴Rt△CBN≌Rt△CDM(AAS).$

$ ∴CN=CM.又CN⊥BF，CM⊥ED.$

$ ∴点C在∠BGD的平分线上，即GC平分∠BGD.$

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$证明:∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴AB=CD.\ $

$∵AE是边BC上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，$

$∴CG⊥AD.$

$∴∠AEB=∠CGD=90°.\ $

$∵AE=CG，$

$∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL).\ $

$∴BE=DG.$

$解:当BC=\frac{3}{2}AB时，四边形ABFG是菱形.\ $

$证明如下，\ $

$∵AB//GF，AG//BF，$

$∴四边形ABFG是平行四边形.$

$在Rt△ABE中，$

$∵∠B=60°.\ $

$∴∠BAE=30°.$

$∴BE=\frac{1}{2}AB.\ $

$∵BE=CF，BC=\frac{3}{2}AB，\ $

$∴EF=\frac{1}{2}AB.$

$∴AB=BF.\ $

$∴平行四边形ABFG是菱形.$

$解:∵四边形ABCD是菱形，$

$∴AD=AB.\ $

$∵∠BAD=60°，$

$∴△ADB是等边三角形.\ $

$∴AD=AB=BD，$

$∠DAB=∠ADB=∠ABD.\ $

$∵AE=DF，∠DAB=∠ADB=60°，AD=BD，\ $

$∴△ADE≌△DBF(SAS).$

$∴∠ADE=∠DBF.\ $

$又∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB，$

$∴∠BGE=∠ADB=60°.$

$证明:∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴∠BAD=∠BCD，AD//BC.\ $

$∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，\ $

$∴∠BAE=∠DAE=\frac{1}{2}∠BAD，$

$∠BCF=∠DCF=\frac{1}{2}∠BCD，$

$∴∠DAE=∠BCF.\ $

$∵AD//BC，$

$∴∠DAE=∠AEB，$

$∴∠BCF=∠AEB，$

$∴AE//FC.又AF//EC，$

$∴四边形AECF是平行四边形.\ $

$∵AE=AF，$

$∴四边形AECF是菱形.$

$解:连接AC，$

$∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴AD//BC，$

$∴∠DAE=∠AEB.\ $

$∵AE平分∠BAD，$

$∴∠BAE=∠DAE，$

$∴∠BAE=∠AEB，$

$∴AB=EB.\ $

$∵∠ABC=60°，$

$∴△ABE是等边三角形，\ $

$∴∠BAE=∠AEB=∠ABE=60°.\ $

$∵△ABE的面积等于\frac{\sqrt{3}}{4}，\ $

$∴\frac{\sqrt{3}}{4}AB²=\frac{\sqrt{3}}{4}，\ $

$∴AB=1.\ $

$即AB=AE=EB=1.\ $

$由(1)知四边形AECF是菱形，\ $

$∴AE=CE=1，$

$BC=BE+CE=2，\ $

$∴∠EAC=∠ECA.\ $

$∵∠AEB是△AEC的一个外角，\ $

$∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°，\ $

$∴∠EAC=∠ECA=30°，\ $

$∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°.$

$即AC⊥AB.\ $

$由勾股定理，$

$得AC= \sqrt{BC²-AB²}=\sqrt {3} .\ $

$即平行线AB与DC间的距离是\sqrt {3} .$

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