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$证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴AO=CO，BO=DO，$

$∵BE=DF，∴EO=FO，\ $

$∴四边形AECF是平行四边形.$

$(2)∵BE=EF，∴S_{△ABE} =S_{△AEF} =2.$

$ ∵四边形AECF是平行四边形，$

$ ∴S_{△AEF} =S_{△CEF} =2，EO=FO，$

$ ∴△CFO的面积为1.$

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$解:过点A作AH⊥BE于点H，如图，\ $

$∵AB=AE，$

$∴BH=EH=\frac{1}{2} BE=\frac{1}{2}×4=2.\ $

$∵OC:EC=5:3，\ $

$不妨设OC=5x，则EC=3x，AC=10x，\ $

$∴CH=CE+EH=3x+2.\ $

$∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴AD//BC，$

$∴∠ACH=∠DAC=60°，\ $

$∴∠CAH=90°-60°=30°，$

$∴AC=2CH，\ $

$∴10x=2(3x+2)，$

$解得x=1，$

$∴AC=10.$

$证明:延长EG至点M，使得EM=AE，连接AM，如图，\ $

$∵∠AEG=60°，$

$∴△AEM为等边三角形，\ $

$∴AE=AM，∠M=60°.\ $

$∵AB=AE，$

$∴∠ABE=∠AEB，AB=AM.\ $

$∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴AB//CD.\ $

$∴∠ABC+∠BCD=180°.\ $

$∵∠AGB+∠BCD=180°，$

$∴∠ABC=∠AGB.\ $

$∵∠ABG=180°-∠AGB-∠BAG，$

$∠ACB=180°-∠ABC-∠BAG，\ $

$∴∠ABG=∠ACB=60°=∠M.\ $

$∵∠AEG=∠ACB=60°，\ $

$∴∠AEB+∠CEG=∠CEG+∠CGE=120°，\ $

$∴∠AEB=∠CGE.\ $

$∵∠AGB=∠ABE=∠AEB，$

$∠AGM=∠CGE.$

$∴∠AGB=∠AGM.\ $

$又AG=AG，$

$∴△ABG≌△AMG(AAS).\ $

$∴BG=MG，$

$∴BG+EG=MG+EG=EM.\ $

$∵AE=EM，$

$∴AE=BG+EG.\ $

$∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴AB=DC.\ $

$∵AB=AE，$

$∴BG+EG=DC. $

$解:①如图(1)，∵四边形ABCD是平行四边形，\ $

$∴AB//CD.$

$∴∠DEA=∠EAB.\ $

$∵AE平分∠DAB，$

$∴∠DAE=∠EAB.\ $

$∴∠DAE=∠DEA.\ $

$∴DE=AD=5.\ $

$同理可得BC=CF=5.\ $

$∵点E与点F重合，$

$∴AB=CD=10.\ $

$②当点E与点C重合时，\ $

$同理可证DE=DC=AD=5.\ $

$∵CF=BC=5，$

$∴点F与点D重合.\ $

$∴EF=DC=5.$

$解:分三种情况讨论:\ $

$如图(2)，易知AD=DE=EF=CF，$

$∴\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}；\ $

$如图(3)，易知AD=DE，BC=CF.\ $

$又DF=FE=CE，$

$∴\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{AB}=\frac{2}{3}；\ $

$如图(4)，$

$∵AD=DE，CB=CF，\ $

$又FD=DC=CE，$

$∴\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{CD}=2.\ $

$综上所述，\frac{AD}{AB}的值为\frac{1}{3}、\frac{2}{3}或2.$

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