$解:当OA'=OP时，如图(2)，\ $
$∵A' (\frac{9}{2} ,6)，∴OA'= \frac{15}{2}.$
$∵四边形OPQA'是菱形，\ $
$∴A'Q//OP, A'Q=OP,\ $
$∴Q( \frac{9}{2} ，- \frac{3}{2} )，Q'( \frac{9}{2} ， \frac{27}{2} ).\ $
$\ 当A'O= A'P时，如图(3)，\ $
$则点 A'与Q关于y轴对称，∴Q(- \frac{9}{2} ，6).$
$\ 当PO=PA'时，如图(4)，设P(0，m)，\ $
$则PO=PA '，\ \ \ \ \ $
$∴m²=(6-m)²+( \frac{9}{2} )^{2} ，解得m= \frac{225}{48} ，$
$∴OP= A'Q= \frac{225}{48} ，∴Q( \frac{9}{2} ， \frac{21}{16} ).$
$\ 综上所述，Q的坐标为( \frac{9}{2} ， \frac{27}{2})\ $
$或( \frac{9}{2}，- \frac{3}{2} 或 (- \frac{9}{2} ，6)或( \frac{9}{2} ， \frac{21}{16} ).$
