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a与b不平行(或a与b相交)

$\frac{1}{2}$

$证明:假设AB=AC，则∠ABC=∠ACB，$

$∵D、E分别是AC、AB的中点，∴BE=CD，\ $

$在△BCD和△CBE中，\begin{cases}{CD=BE,}\\{∠ACB=∠ABC,}\\{BC=CB,}\end{cases}$

$∴△BCD≌△CBE(SAS)，∴BD=CE，与BD≠CE相矛盾.则AB≠AC.$

证明:是，理由:

连接BD，交AC于点O.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.

又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，

∴四边形BFDE是平行四边形.

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证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，OA=OC，∴∠EAO=∠FCO.

∵∠AOE=∠COF，∴△OAE≌△OCF，

∴OE=OF.同理得OG=OH.

∴四边形EGFH是平行四边形.

解:(2)▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.

$证明:是，理由:$

$∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴AB=CD，且AB//CD，$

$∴∠BAE=∠DCF$

$∵BE⊥AC，DF⊥AC，\ $

$∴∠BEA =∠DFC =90°，\ $

$∴BE//DF，$

$在△BAE和△DCF中，$

$\begin{cases}{∠BAE=∠DCF\ }\ \\ {∠BEA =∠DFC\ }\\{AB=CD} \end{cases}$

$△BAE≌ △DCF(AAS)，∴BE=DF，$

$∴四边形BFDE是平行四边形.$