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解：$2x+8-4x>-x+5$

$ -x>-3$

$ x<3$

解：$5(x-1)<2(7x+2)$

$ 5x-5<14x+4$

$ x>-1$

解：$3x-\frac {10} {3}>4x-20$

$ -x>-\frac {50} {3}$

$ x<\frac {50} {3}$

则$x$的最大整数解为$16$

①

②

解：由①得$3x＜-9，$$x＜-3$

由②得$2x＜10，$$x＜5$

所以不等式组的解集为$x＜-3$

解：由①得$2-\frac 23x+2＞-6$

$\frac 23x＜10，$$x＜15$

由②得$-\frac 23x-\frac {10}3-1＜5$

$\frac 23x＞-\frac {28}3，$$x＞-14$

所以不等式组的解集为$-14＜x＜15$

解：设开展劳动竞赛前$1$个人一天做$x$个零件

由题意得，${{\begin{cases} {{8(x+10)＞200}} \\{4(x+10+27)＞8(x+10)} \end{cases}}}$

解得$15＜x＜17$

∴不等组的解集为$15＜x＜17$

∵$x$为正整数

∴$x$为$16$

答：开展劳动竞赛前$1$个人一天做$16$个零件。