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解：∵$△ABC∽△A'B'C'$

∴$\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AB+BC+AC}{A'C'+B'C'+A'C'}=\frac {60}{72}$

又∵$AB=15\ \mathrm {cm}，$$B'C'=24\ \mathrm {cm}$

∴$A'B'=18\ \mathrm {cm}，$$BC=20\ \mathrm {cm}$

解：∵$DE//BC$

∴$∠DEB=∠EBC，$$∠EDC=∠DCB$

∴$△DOE∽△COB$

由$△DOE$与$△COB$的面积比为$4：$$9$

可得$△DOE$与$△COB$的相似比为$2：$$3$

∴$\frac {DE}{BC}=\frac 23$

∵$DE//BC$

∴$\frac {AE}{AC}=\frac {DE}{BC}=\frac 23$

解：$(1)△ABC$的周长$=20×\frac 3{3+2}=12(\mathrm {cm})$

$△A'B'C'$的周长$=20×\frac 2{3+2}=8(\mathrm {cm})$

$(2)$∵$△ABC$与$△A'B'C'$的相似比为$\frac 32$

∴面积比为$\frac 94$

∴$S_{△ABC}=5÷\frac {9-4}9=9(\mathrm {cm^2})，$$S_{△A'B'C'}=5÷\frac {9-4}4=4(\mathrm {cm^2})$