$解：因为M是“勾股和数”，$
$所以10a+b=c^2+d^2.\ $
$所以0＜c^2+d^2＜100.\ $
$因为G(M)=\frac{c+d}{9}为整数，$
$所以c+d=9.\ $
$ \begin{aligned}所以P(M)&=\dfrac{|10(a-c)+(b-d)|}3 \\ &=\dfrac{|10a-10c+b-d|}3 \\ &=\dfrac{|c^2+d^2-9c-9|}3为整数\ \\ \end{aligned}$
$所以c^2+d^2=81-2cd为3的倍数.\ $
$所以①c=0，d=9或c=9，d=0，此时M=8109或M=8190；\ $
$②c=3，d=6或c=6，d=3，此时M=4536或M=4563.\ $
$综上，符合条件的M有4536或4563或8109或8190.$
