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第25页

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10°

30°或22.5°

$20°或(\frac{60}{7})°$

$或(\frac{540}{19})°或(\frac{540}{23})°$

(3)解：因为∠A是和谐△ABC中最小的内角，

所以另两个角为3∠A，180°-4∠A，

所以180°-4∠A >∠A，所以0°<∠A <36°.

$解:①如图①，当点Q在△ABC内部时，$

$因为∠CQB=104°，$

$所以∠1+∠2=180°-∠CQB=76°. $

$因为∠A=56°，$

$所以∠ACB+∠ABC=124°，$

$所以∠ACQ+∠ABQ=∠ACB+∠ABC-(∠1+∠2)=48°，$

$所以∠QBE+∠QCF=360°-(∠ACQ+∠ABQ)=360°-48°=312°. $

$因为BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，$

$所以∠DCQ+∠DBQ=\frac{1}{2}(∠QCF+∠QBE)=156°，$

$所以∠DCB+∠DBC=156°-76°=80°，$

$所以∠BDC=180°-(∠DCB+∠DBC)=100°. $

$②如图②，当点Q在△ABC外部时，$

$因为∠CQB=104°，$

$所以∠1+∠2=76°. $

$因为∠FCB+∠EBC=180°-∠ACB+180°-∠ABC=360°-(180°-∠A)=180°+∠A=236°，$

$所以∠FCQ+∠EBQ=∠FCB+∠EBC-(∠1+∠2)=160°. $

$因为BM，CN分别平分∠QBE和∠QCF，$

$所以∠DCQ+∠DBQ=\frac{1}{2}(∠FCQ+∠EBQ)=80°，$

$所以∠DCB+∠DBC=∠DCQ+∠DBQ+∠1+∠2=80°+76°=156°，$

$所以∠BDC=180°-(∠DCB+∠DBC)=24°. $

$综上所述，∠BDC的度数为100°或24°. $

$解:∠AOG=45°+ \frac{1}{2}∠ACG.$

$理由:如图，设∠ACB=α，∠ABC=β，$

$则∠CAB=180°-α-β，∠BGH=∠ABC=β.$

$因为AO，GO分别平分∠EAF，∠CGH，$

$所以∠1= \frac{1}{2}∠FAE=90°- \frac{1}{2}α－ \frac{1}{2}β，$

$∠3= \frac{1}{2}∠BGH=45°- \frac{1}{2}β.$

$因为∠ABG=180°-∠ABM=∠1+∠2，$

$∠2=180°-∠OMG=∠3+∠AOG，$

$所以∠ABG=∠1+∠3+∠AOG，$

$所以180°－β=(90°-\frac{1}{2}α- \frac{1}{2} β)+(45°-\frac{1}{2}β)+∠AOG.$

$即45°=∠AOG- \frac{1}{2}α.$

$所以∠AOG=45°+ \frac{1}{2}∠ACG.$