解：因为长方形OABC中，顶点A，C的坐标分别为(10,0)，(0,4)，所以点B的坐标为(10,4)，BC边在直线y=4上，点P在BC上，设点P的坐标为(x,4)。
D是OA的中点，OA=10，所以OD=5，点D的坐标为(5,0)。
分三种情况讨论：
情况一：OD为等腰三角形的底边
此时OP=PD，设点P(x,4)，则根据两点间距离公式：
OP²=x²+4²，PD²=(x-5)²+4²
因为OP=PD，所以x²+16=(x-5)²+16，即x²=(x-5)²，解得x=2.5。
此时OP=√(2.5²+4²)=√(6.25+16)=√22.25≠5，不符合腰长为5的条件，故舍去。
情况二：OD为等腰三角形的腰，O为顶角顶点（OP=OD=5）
OP=5，OP²=x²+4²=25，即x²+16=25，x²=9，解得x=3或x=-3（点P在BC上，x≥0，舍去x=-3），所以点P的坐标为(3,4)。
情况三：OD为等腰三角形的腰，D为顶角顶点（PD=OD=5）
PD=5，PD²=(x-5)²+4²=25，即(x-5)²+16=25，(x-5)²=9，解得x-5=±3，x=5+3=8或x=5-3=2。
当x=2时，点P在点M（假设M为D在BC上的投影，此处可理解为点P在D左侧），坐标为(2,4)；当x=8时，点P在点M右侧，坐标为(8,4)。
综上，点P的坐标为(3,4)或(2,4)或(8,4)。
$解：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：$ $横坐标不变，纵坐标互为相反数。$ $已知A(2,3)，B(1,1)，C(3,2)，$ $则A_1(2, - 3)，B_1(1, - 1)，C_1(3, - 2)，$ $然后顺次连接A_1B_1，B_1C_1，C_1A_1，$ $即可得到\triangle A_1B_1C_1。如图所示$ $（3）作点A关于y轴的对称点A'（A'(-2,3)），$ $连接A'B与y轴的交点即为P点。如图所示$
【答案】：
（1）7 （2）m=4或-2 （3）k=$\frac{7}{3}$或$\frac{5}{4}$
【解析】：
（1）7
（2）由题意得，点P到x轴距离为|m-1|，到y轴距离为5，较小值为3。
因为5＞3，所以|m-1|=3，
m-1=3或m-1=-3，
解得m=4或m=-2。
（3）点C到x轴距离为|k|，到y轴距离为2，“短距”为min(|k|,2)；
点D到x轴距离为|3k-5|，到y轴距离为4，“短距”为min(|3k-5|,4)。
因为C，D为“等距点”，所以min(|k|,2)=min(|3k-5|,4)。
情况一：|k|≤2且|3k-5|≤4，
则|k|=|3k-5|，
k=3k-5或k=-(3k-5)，
解得k=$\frac{5}{2}$或k=$\frac{5}{4}$。
又|k|≤2且|3k-5|≤4，
k=$\frac{5}{2}$时，|k|=$\frac{5}{2}$＞2，舍去；k=$\frac{5}{4}$时，|k|=$\frac{5}{4}$≤2，|3k-5|=$\frac{5}{4}$≤4，成立。
情况二：|k|≤2且|3k-5|＞4，
则|k|=4，|k|=4与|k|≤2矛盾，无解。
情况三：|k|＞2且|3k-5|≤4，
则2=|3k-5|，
3k-5=2或3k-5=-2，
解得k=$\frac{7}{3}$或k=1。
k=1时，|k|=1≤2，舍去；k=$\frac{7}{3}$时，|k|=$\frac{7}{3}$＞2，|3k-5|=2≤4，成立。
情况四：|k|＞2且|3k-5|＞4，
则2=4，不成立。
综上，k=$\frac{7}{3}$或k=$\frac{5}{4}$。
【答案】：
当OD是等腰三角形的底边时,P就是OD的垂直平分线与CB的交点,此时OP=PD≠5;当OD是等腰三角形的一条腰时,若O是顶角顶点,点P的坐标是(3,4);若D是顶角顶点,当点P在点M左侧时,点P的坐标是(2,4);当点P在点M右侧时,点P的坐标是(8,4)
【解析】：
∵长方形OABC中，A(10,0)，C(0,4)，D是OA中点，
∴OA=10，OC=4，OD=5，点P在BC上，设P(x,4)。
情况1：OD为腰，O为顶角顶点，OP=OD=5。
由勾股定理，$x^2 + 4^2 = 5^2$，解得$x=3$（$x=-3$舍），P(3,4)。
情况2：OD为腰，D为顶角顶点，PD=OD=5。
由勾股定理，$(x-5)^2 + 4^2 = 5^2$，解得$x=2$或$x=8$，P(2,4)或(8,4)。
情况3：OD为底边，OP=PD，此时OP≠5，舍去。
综上，点P的坐标为(2,4)，(3,4)，(8,4)。
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