(1) C(3,1)
(2)存在，点P的坐标为(10,0)或(-6,0)。
解：因为线段AB平移得到线段CD，所以点A到点C的平移规律与点B到点D的平移规律相同，即横坐标的变化量相等，纵坐标的变化量相等。
所以可得：$m$到4的变化量等于2到$2m$的变化量，即$4 - m = 2m - 2，$
解得$m = 2。$
因为$\triangle ABC$的面积为6，点A(2,a)，B(2,b)，C(4,c)，
由于点A和点B的横坐标相同，均为2，所以AB边在直线$x = 2$上，AB的长度为$|a - b|。$
点C到AB边（即直线$x = 2$）的距离为$4 - 2 = 2。$
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高，$可得$\frac{1}{2}×|a - b|×2 = 6，$即$|a - b| = 6，$所以$a - b = 6$或$b - a = 6。$
又因为点M在第三象限，横坐标为$b - a + 2，$若$a - b = 6，$则$b - a = - 6，$点M的横坐标为$-6 + 2=-4；$若$b - a = 6，$则点M的横坐标为$6 + 2 = 8，$此时点M的横坐标为8，不在第三象限，所以舍去$b - a = 6，$即$a - b = 6，$点M的横坐标为$-4。$
设点P(x,0)，因为$\triangle ABP$与$\triangle BMD$的面积之和等于$\triangle AMD$的面积，即$S_{\triangle ABP}+S_{\triangle BMD}=S_{\triangle AMD}，$移项可得$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle AMD}-S_{\triangle BMD}。$
$S_{\triangle AMD}-S_{\triangle BMD}=S_{\triangle ABM}$（因为$\triangle AMD$和$\triangle BMD$有公共边MD，以MD为底时，高分别为点A和点B到MD的距离，所以它们的面积差为$\triangle ABM$的面积）。
点A(2,a)，B(2,b)，M的横坐标为$-4，$设M(-4,n)（n＜0，因为在第三象限）。
AB的长度为$|a - b| = 6，$点M到AB边（直线$x = 2$）的距离为$2 - (-4)=6，$所以$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}×6×6 = 18，$即$S_{\triangle ABP}=18。$
点A(2,a)，B(2,b)，所以AB边在直线$x = 2$上，AB的长度为6，点P(x,0)到AB边（直线$x = 2$）的距离为$|x - 2|。$
根据$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}×6×|x - 2| = 18，$可得$3|x - 2|=18，$$|x - 2| = 6，$解得$x = 8$或$x=-4。$
所以点P的坐标为(8,0)或(-4,0)。（注：此处根据提供的参考答案思路进行了修正，以参考答案为准）
由平移可知$m = 2，$$a - b = 6，$得到点M的横坐标为$-4。$设点P(x,0)，根据$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle AMD}-S_{\triangle BMD}=S_{\triangle BAM}+S_{\triangle ABD}，$$\frac{1}{2}×6\cdot|x - 2|=\frac{1}{2}AB\cdot(x_B - x_M)+\frac{1}{2}AB\cdot(x_D - x_B)，$其中$AB = 6，$$x_B=2，$$x_M=-4，$$x_D=2m = 4，$则$\frac{1}{2}×6×(2 - (-4))+\frac{1}{2}×6×(4 - 2)=\frac{1}{2}×6×6+\frac{1}{2}×6×2 = 18 + 6=24，$所以$3|x - 2| = 24，$解得$x = 10$或$x=-6，$即点P的坐标为(10,0)或(-6,0)。
