第29页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

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C

解：△APQ为等边三角形，证明如下：

 因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC，∠BAC=60°。

 在△ABP和△ACQ中，

 $\begin{cases}AB=AC \\\angle ABP=\angle ACQ \\BP=CQ\end{cases}$

 所以△ABP≌△ACQ（SAS），则AP=AQ，∠BAP=∠CAQ。

 因为∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，所以∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°。

 又因为AP=AQ，所以△APQ是等边三角形。

 证明：

 （1）因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。

 因为点E是AB的中点，所以CE平分∠ACB，且AE=BE。

 因此∠BCE=30°。

 又因为ED=EC，所以∠D=∠BCE=30°。

 因为∠ABC=∠D+∠BED（三角形外角性质），所以∠BED=∠ABC-∠D=60°-30°=30°。

 因此∠D=∠BED，故BD=BE。

 又因为AE=BE，所以AE=DB，即BD=AE。

 （2）AE=DB成立。证明如下：

 过点E作EF//BC交AC于点F。

 因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC。

 由于EF//BC，所以∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，

 因此∠AEF=∠AFE=∠A=60°，即△AEF是等边三角形，故AE=EF，∠AFE=60°。

 所以∠EFC=180°-∠AFE=120°，∠DBE=180°-∠ABC=120°，即∠DBE=∠EFC。

 因为DE=EC，所以∠D=∠ECD。

 又因为∠ABC=∠D+∠BED=60°，∠ACB=∠ECD+∠ECF=60°，

 所以∠BED=∠ECF。

 在△DEB和△ECF中，

 $\begin{cases}∠DBE=∠EFC \\∠BED=∠ECF \\DE=EC\end{cases}$

 所以△DEB≌△ECF（AAS），因此DB=EF。

 又因为AE=EF，所以AE=BD。

【答案】：
C

【解析】：
已知$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$，等式两边同时乘以2得：$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2ac + 2bc$，移项整理得：$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0$，即$(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0$。因为平方数具有非负性，所以$a - b = 0$，$a - c = 0$，$b - c = 0$，解得$a = b = c$，故$\triangle ABC$是等边三角形。
C

【答案】：
△APQ为等边三角形.因为△ABC为等边三角形,所以AB=AC.所以△ABP≌△ACQ(SAS),则AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.因为∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,所以∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,所以△APQ是等边三角形

【解析】：
△APQ是等边三角形.
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°.
在△ABP和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle ABP=\angle ACQ\\ BP=CQ\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°.
∵AP=AQ，∠PAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形.