第27页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

 证明：

 （1）$\because AC=BC，$$D$为边$AB$的中点，

 $\therefore CD\perp AB$（等腰三角形三线合一）。

 $\because EF\perp AB，$

 $\therefore EF// CD$（垂直于同一条直线的两条直线平行）。

 （2）$\because AC=BC，$$D$为边$AB$的中点，

 $\therefore \angle ACD=\angle BCD$（等腰三角形三线合一）。

 $\because EF// CD，$

 $\therefore \angle ACD=\angle EGC$（两直线平行，内错角相等），

 $\angle BCD=\angle E$（两直线平行，同位角相等）。

 $\therefore \angle EGC=\angle E，$

 $\therefore CG=CE$（等角对等边），

 $\therefore \triangle CEG$是等腰三角形。

 （1）证明：在△ABD中，∠B+∠1+∠BDA=180°，则∠1=180°-∠B-∠BDA。

 在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，则∠C=180°-∠B-∠BAC。

 ∵∠BDA=∠BAC，

 ∴180°-∠B-∠BDA=180°-∠B-∠BAC，

 ∴∠1=∠C。

 （2）证明：

 ∵BE平分∠ABC，

 ∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC。

 ∵∠BFD是△ABF的外角，

 ∴∠BFD=∠1+∠ABE。

 ∵∠AEF是△BCE的外角，

 ∴∠AEF=∠C+∠CBE。

 由（1）知∠1=∠C，且∠ABE=∠CBE，

 ∴∠BFD=∠AEF。

 ∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等），

 ∴∠AEF=∠AFE，

 ∴AE=AF（等角对等边）。

 证明：过点O作$OD\perp AB，$垂足为D，过点O作$OE\perp AC，$垂足为E。

 $\because OD\perp AB，$$OE\perp AC，$AO平分$\angle BAC，$

 $\therefore OD=OE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

 $\because \angle 1=\angle 2，$

 $\therefore OB=OC$（等角对等边）。

 在$Rt\triangle BDO$和$Rt\triangle CEO$中，

 $\left\{\begin{array}{l} OB=OC \\ OD=OE \end{array}\right.，$

 $\therefore Rt\triangle DOB\cong Rt\triangle EOC(HL)。$

 $\therefore \angle DBO=\angle ECO。$

 $\because \angle ABC=\angle 1+\angle DBO，$$\angle ACB=\angle 2+\angle ECO，$且$\angle 1=\angle 2，$

 $\therefore \angle ABC=\angle ACB。$

 $\therefore AB=AC$（等角对等边）。

 $\therefore \triangle ABC$是等腰三角形。

【答案】：
过点O作$OD\perp AB$，垂足为D，过点O作$OE\perp AC$，垂足为E。$\because OD\perp AB$，$OE\perp AC$，AO平分$\angle BAC$，$\therefore OD=OE$。$\because \angle 1=\angle 2$，$\therefore OB=OC$。在$Rt\triangle BDO$和$Rt\triangle CEO$中，$\because Rt\triangle DOB\cong Rt\triangle EOC(HL)$，$\therefore \angle DBO=\angle ECO$，$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，$\therefore AB=AC$

【解析】：
证明：过点$O$作$OD\perp AB$，垂足为$D$，过点$O$作$OE\perp AC$，垂足为$E$。
$\because OD\perp AB$，$OE\perp AC$，$AO$平分$\angle BAC$，
$\therefore OD=OE$。
$\because \angle 1=\angle 2$，
$\therefore OB=OC$。
在$Rt\triangle BDO$和$Rt\triangle CEO$中，
$\begin{cases} OB=OC \\ OD=OE \end{cases}$
$\therefore Rt\triangle BDO\cong Rt\triangle CEO(HL)$。
$\therefore \angle DBO=\angle ECO$。
$\because \angle 1=\angle 2$，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB$。
$\therefore AB=AC$。
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形。