解：$(1)$设该一次函数的表达式为$ y=kx+b (k \neq 0 )$
∵当$ x=4 $时，$ y=9 ；$当$ x=6 $时，$ y=-1$
∴可得方程组$ \begin {cases} 4k+b=9 \\6k+b=-1 \end {cases} ，$解得$\begin {cases}{k=-5 }\\{ b=29 }\end {cases}$
∴该一次函数的表达式为$ y=-5x+29 $
$ (2)$当$ x=1 $时，$ y=-5×1+29=24 $
