解：$(1)$过点$A(-3，$$1)$且与$y$轴平行的直线上的点横坐标都为$-3$
∴$2\ \mathrm {m}+1=-3，$解得$m=-2$
$ $则点$P $的坐标为$(2×(-2)+1，$$3×(-2)+2)=(-3，$$-4)$
$ (2)$点$P $向右平移$2$个单位长度，横坐标变为$2\ \mathrm {m}+1+2=2\ \mathrm {m}+3；$
向上平移$3$个单位长度，纵坐标变为$3\ \mathrm {m}+2+3=3\ \mathrm {m}+5$
∴点$M$的坐标为$(2\ \mathrm {m}+3，$$3\ \mathrm {m}+5)。$
∵点$M$在第三象限，所以横坐标小于$0，$纵坐标小于$0$
且点$M$到$y$轴的距离为$7，$即$|2\ \mathrm {m}+3|=7$
由于第三象限横坐标为负，∴$2\ \mathrm {m}+3=-7，$解得$m=-5$
$ $此时纵坐标$3\ \mathrm {m}+5=3×(-5)+5=-10＜0，$符合题意
∴点$M$的坐标为$(-7，$$-10)$
