解：$(1) $∵点$P $的坐标为$(a-7，$$3-2a)$
∴将点$P $向上平移$4$个单位，再向右平移$5$个单位后得到点$Q(a-2，$$7-2a)$
∵点$Q $位于第一象限
∴$\begin {cases}{a-2＞0}\\{7-2a＞0 }\end {cases}$
解得$2＜a＜3.5$
$(2) $∵$a$为整数且$2＜a＜3.5$
∴$a=3$
∴$P(-4，$$-3)，$$Q(1，$$1)$
