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证明：过点$P {作}P D⊥BC$于点$D$

∵$BP $是$∆ABC$的外角平分线，$PM⊥AB，$$P D⊥BC$

∴$PM=P D$

∵$CP $是$∆ABC$的外角平分线，$PN⊥AC，$$P D⊥BC$

∴$PN=P D$

∴$PM=PN$

又∵$PM⊥AB，$$PN⊥AC$

∴$AP $平分$∠MAN$

$(1)$证明：过点$P {作}PE⊥OA$于点$E，$$PF⊥OB$于点$F$

∵$OC$是$∠AOB$的角平分线，∴$PE=PF，$$∠PEM=∠PFN=90°$

∵$∠MPE+∠MPF=90°，$$∠NPF+∠MPF=90°$

∴$∠MPE=∠NPF$

在$△PME$和$△PNF {中}$

$ \begin {cases}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠MPE=∠NPF}\end {cases}$

∴$△PME≌△ PNF(AS A)$

∴$PM=PN$

$(2)$过点$P {作}PE⊥OA$于点$E，$$PF⊥OB$于点$F$

∵$OC$是$∠AOB$的角平分线，∴$PE=PF，$$∠PEM=∠PFN=90°$

∵$∠MPE+∠MPF=90°，$$∠NPF+∠MPF=90°$

∴$∠MPE=∠NPF$

在$△PME$和$△PNF {中}$

$ \begin {cases}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠MPE=∠NPF}\end {cases}$

∴$△PME≌△ PNF(AS A)$

∴$PM=PN$

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