$证明:∵AB//DE,BC//EF,∴∠A=∠EDF,∠BCA=∠F$ $∵AD=CF,∴AC=DF$ $在△ABC和△DEF中$ ${{\begin{cases} {{∠A=∠EDF}} \\ {AC=DF} \\ {∠BCA=∠F} \end{cases}}}$ $∴△ABC≌△DEF(ASA)$ $证明:延长AE到点F使得EF=AE,连接DF$ $在△ABE和△FDE中$ ${{\begin{cases} {{BE=DE}} \\ {∠AEB=∠FED} \\ {AE=FE} \end{cases}}}$ $∴△ABE≌△FDE(SAS)$ $∴AB=FD,∴∠ABE=∠FDE$ $∴FD=DC,∠FDE+∠ADE=∠ABE+∠BAD=∠ADC$ $在△ADF和△ADC中$ ${{\begin{cases} {{AD=AD}} \\ {∠ADF=∠ADC} \\ {DF=DC} \end{cases}}}$ $∴△ADF≌△ADC(SAS)$ $∴AF=AC$ $∴AC=AE+EF=2AE$
$解:当∠MCN+α=180°时,BE=CF,证明:$ $∵∠CBE+∠BCE=180°-α$ $∠FCA+∠BCE=∠BCA=∠MCN=180°-α$ $∴∠CBE=∠FCA$ $在△BCE和△CAF中$ ${{\begin{cases} {{∠CBE=∠ACF}} \\ {∠BEC=∠CFA} \\ {BC=CA} \end{cases}}}$ $∴△BCE≌△CAF(AAS)$ $∴BE=CF$
$解:EF=BE+AF,证明:$ $由三角形内角和知∠ACF+∠CAF=180°-α$ $由E,C,F三点共线知∠ACF+∠BCE=180°-α$ $∴∠CAF=∠BCE$ $在△BEC和△CFA中$ ${{\begin{cases} {{∠BEC=∠CFA}} \\ {∠BCE=∠CAF} \\ {BC=CA} \end{cases}}}$ $∴△BEC≌△CFA(AAS)$ $∴EC=FA,BE=CF$ $∴EF=EC+CF=AF+BE$
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