第47页 - 启东中学作业本八年级数学人教版

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$证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠DAB=∠CBA$

$在△ADB和△BCA中$

$\begin{cases}{ ∠2=∠1 }\ \\ { AB=BA } \\{ ∠DAB=∠CBA} \end{cases}$

$∴△ADB≌△BCA(ASA),∴AC=BD$

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$证明:(1)∵D是BC的中点，∴BD=CD\ $

$在△ABD和△ECD中$

$\begin{cases}{ BD=CD }\ \\ { ∠ADB=∠EDC } \\{ AD=ED} \end{cases}$

$∴△ABD≌△ECD(SAS)$

$(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$证明:∵AC⊥CF,DF⊥CF,∴∠ACB=∠DFE=90°\ $

$∵EC=BF,∴EC+EB=BF+EB，即CB=FE$

$\ 在Rt△ACB与Rt△DFE中$

$\begin{cases}{ AB=DE }\ \\ { CB=FE } \end{cases}$

$∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL),∴AC=DF$

$在△ACE与△DFB中$

$\begin{cases}{ AC=DF }\ \\ { ∠ACE=∠DFB } \\{ CE=FB} \end{cases}$

$∴△ACE≌△DFB(SAS),∴AE=DB $

$解:在△ABC中，D是边BC的中点$

$∴S_{△ABD}=S_{△ADC}\ $

$∵△ABD≌△ECD,∴S_{△ABD}=S_{△ECD}\ $

$∵S_{△ABD}=5$

$∴S_{△ACE}=S_{△ACD}+S_{△ECD}=5+5=10$

$∴△ACE的面积为10 $

$解:∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠DAF$

$在△ACF和△ADF中$

$\begin{cases}{ AC=AD }\ \\ { ∠CAF=∠DAF } \\{ AF=AF} \end{cases}$

$∴△ACF≌△ADF(SAS),∴∠ACF=∠ADF\ $

$∵∠ACB=90°,CE⊥AB\ $

$∴∠ACE+∠CAE=90°,∠CAE+∠B=90°\ $

$∴∠ACF=∠B,∴∠ADF=∠B=40° $

$证明:由(1)知∠ADF=∠B,∴DF//BC\ $

$∵BC⊥AC,∴FG⊥AC$

$又FE⊥AB,AF平分∠CAB,∴FG=FE $