$证明:∵AO平分∠BAC,∴∠CAO=∠EAO\ $ $在△AOC和△AOE中$ $\begin{cases}{ AC=AE }\ \\ { ∠CAO=∠EAO } \\{AO=AO } \end{cases}$ $\ ∴△AOC≌△AOE(SAS),∴∠ACD=∠AEO$ $在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°, ∴∠ACD=∠B$ $∴∠AEO=∠B,∴OE//BC$ $解:(1)∵∠ABC=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB$ $∴∠OAC+∠OCA=\frac{1}{2}(∠BAC+∠BCA)$ $=\frac{1}{2}(180°-∠B)=60°,∴∠AOC=120°$ $(2)（更多请点击查看作业精灵详解）$
$证明:延长EF,BC相交于点M$ $∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°$ $∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC\ $ $∴∠EAB+∠EBA=45°, ∴∠AEB=180°-45°=135°\ $ $∴∠DEB=180°-135°=45°$ $∵AE⊥EF, ∴∠MEB=∠MED+∠DEB$ $=90°+45°=135°=∠AEB$ $在△AEB和△MEB中$ $\begin{cases}{ ∠AEB=∠MEB }\ \\ { EB=EB } \\{ ∠ABE=∠MBE} \end{cases}$ $∴△AEB≌△MEB(ASA)\ $ $∴∠EAB=∠M,AE=ME,AB=MB$ $∵AE平分∠BAC,∴∠FAE=∠EAB,∴∠FAE=∠M$ $在△AEF和△MED中$ $\begin{cases}{ ∠FAE=∠M }\ \\ { AE=ME } \\{ ∠AEF=∠MED} \end{cases}\ $ $∴△AEF≌△MED(ASA), ∴AF=MD$ $∴AF+BD=MD+BD=MB=AB $
$证明:如答图，延长BO,AE,两线交于点F\ $ $∵BD平分∠ABO,AE⊥BD\ $ $∴∠1=∠2,∠AEB=∠FEB=90°$ $在△ABE和△FBE中$ $\begin{cases}{ ∠1=∠2 }\ \\ { BE=BE } \\{∠AEB=∠FEB } \end{cases}$ $∴△ABE≌△FBE(ASA),∴AE=EF\ $ $∵∠AOB=90°,∠AED=90°,∠ADE=∠BDO\ $ $∴∠2=∠OAF$ $∵∠AOB=90°,∴∠DOB=∠FOA=90°$ $在△OBD和△OAF中$ $\ \begin{cases}{ ∠2=∠FAO }\ \\ { BO=AO } \\{ ∠BOD=∠AOF} \end{cases}$ $∴△OBD≌△OAF,∴BD=AF$ $∵AE=EF,∴BD=2AE $
$证明:在AC上截取AF=AE，连接OF$ $∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD$ $在△AOE和△AOF中$ $\begin{cases}{ AE=AF }\ \\ { ∠EAO=∠FAO } \\{ AO=AO} \end{cases}$ $∴△AOE≌△AOF(SAS),∴∠AOE=∠AOF$ $由(1)知∠AOC=120°，∴∠AOE=60°\ $ $∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF$ $∵CE平分∠ACB,∴∠FCO=∠DCO\ \ $ $在△COF和△COD中$ $\begin{cases}{ ∠FOC=∠DOC }\ \\ { CO=CO } \\{∠FCO=∠DCO } \end{cases}$ $∴△COF≌COD(ASA),∴CF=CD\ $ $∴AC=AF+CF=AE+CD $
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