$证明:过点E作EH⊥AC于点H\ $ $∴∠EHC=∠EHF=90°$ $∵AB⊥AC,∴∠DAC=90°,∠ADC+∠ACD=90°\ $ $∵CE⊥CD,∴∠ECH+∠ACD=90°\ $ $∴∠ECH=∠CDA$ $在△HEC和△ACD中$ $\begin{cases}{ ∠EHC=∠CAD }\ \\ { ∠ECH=∠CDA } \\{CE=DC } \end{cases}$ $∴△HEC≌△ACD(AAS),∴EH=AC\ $ $∵AB=AC,∴EH=AB$ $在△ABF和△HEF中$ $\ \begin{cases}{ ∠BAF=∠EHF }\ \\ { ∠AFB=∠HFE } \\{BA=EH } \end{cases}$ $∴△ABF≌△HEF(AAS)$ $∴EF=BF,∴F是BE的中点 $
$证明:过点D作DH⊥AC,交AC的延长线于点H\ $ $∴∠EFC=∠DHC=90°$ $在△AEF和△BDH中$ $\begin{cases}{ ∠A=∠DBH }\ \\ { ∠AFE=∠BHD } \\{AE=BD } \end{cases}\ $ $∴△AEF≌△BDH(AAS),∴EF=DH$ $在△EFC和△DHC中$ $\begin{cases}{ ∠FCE=∠HCD }\ \\ { ∠EFC=∠DHC } \\{EF=DH } \end{cases}$ $∴△EFC≌△DHC(AAS),∴CE=CD$ $∴C是DE的中点 $
$证明:由(1)得，△AEF≌△BDH,△EFC≌△DHC\ $ $∴AF=BH,CF=CH$ $∴AB+BF=BF+FH,FH=2FC$ $∴AB=FH=2CF $
$证明:过点E作EM⊥CF,交CF的延长线于点M\ $ $∵BE⊥AB,∴∠ABE=90°$ $∴∠EBM+∠ABC=180°-90°=90°$ $∵∠C=90°, ∴∠A+∠ABC=180°-90°=90°$ $∴∠EBM=∠A$ $在△ABC和△BEM中$ $\begin{cases}{ ∠A=∠EBM }\ \\ { ∠C=∠M } \\{AB=BE } \end{cases}$ $∴△ABC≌△BEM(AAS),∴BC=EM\ $ $∵BD=BC,∴BD=EM$ $在△EMF和△DBF中$ $\begin{cases}{ ∠M=∠DBF }\ \\ { ∠EFM=∠DFB } \\{EM=DB } \end{cases}$ $∴△EMF≌△DBF(AAS)$ $∴EF=DF,∴F是ED的中点 $
$证明:∵△ABC≌△BEM,△EMF≌△DBF\ $ $∴S_{△ABC}=S_{△BEM},S_{△EMF}=S_{△DBF}$ $∵F是ED的中点$ $∴S_{△BEF}=S_{△DBF}=\frac{1}{2}S_{△BEM}=\frac{1}{2}S_{△ABC}\ $ $∴S_{△ABC}=2S_{△BEF}$
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