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105°

$解：∵∠AOB=114°，OF 是∠AOB的平分线$

$∴∠AOF=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×114°=57°$

$∵∠AOE与∠AOF 互余$

$∴∠AOE+∠AOF =90°$

$∴∠AOE=90°-∠AOF=90°-57°=33°$

$∴∠BOE=∠AOE+∠AOB=33°+114°=147°$

$解：(1)设这个角为x°,则180-x-40=x，解得x=70$

$(2)设这个角为∠A，则这个角的余角为90°-∠A，补角为180°-∠A$

$根据题意得180°-∠A+10°=3(90°-∠A)$

$解得∠A=40°$

$余角：90°-∠A=90°- 40°=50°$

$补角：180°-∠A=180°-40°= 140°$

$解：有，与∠BOC互余的角是∠COD、∠AOB$

$有，与∠BOC互补的角是∠AOD$

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$解：(1)如图所示，当OC、OB在OA的同侧时$

$∵∠AOC与∠BOC互补$

$∴∠AOC+∠BOC=180°$

$∵∠AOB=120°$

$∴∠BOC+∠BOC+120°=180°$

$∴∠BOC=30°$

$如图2所示，当OC、OB在OA的两侧时$

$∵∠AOC与∠BOC互补$

$∴∠AOC+∠BOC=180°$

$∵∠AOB=120°$

$∴∠BOC+∠BOC-120°=180°$

$∴∠BOC=150°$

$综上所述，∠BOC=30°或∠BOC=150°$

$解：(2)②如图3所示，当OC在OB左侧时$

$∵∠MOC与∠BOC互余$

$∴∠BOC=90°-∠MOC$

$∵OM平分∠AOC$

$∴∠AOC=2∠MOC$

$∵∠AOB=120°$

$∴∠BOD=180°-∠AOB=60°$

$∴∠COD=∠BOD-∠BOC=∠MOC-30°$

$∵∠COD+∠AOC=180°$

$∴2∠MOC+∠MOC-30°=180°$

$∴∠MOC=70°$

$∴α=∠COD=40°$

$如图4所示，当OC在OB右侧时$

$∵∠MOC与∠BOC互余$

$∴∠BOM=∠BOC+∠MOC=90°$

$∴∠AOM=180°-∠BOD-∠BOM=30°$

$∵OM平分∠AOC$

$∴∠AOC=2∠AOM=60°$

$∴α=∠COD=180°-∠AOC=120°$

$综上所述，存在α=40°或α=120°使得∠MOC与∠BOC互余$

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