$解:(1)由图像可知，函数y=\frac{m}{x}(x＞0)的图像经过点A(1, 6)，$
$可得m=6.\ $
$设直线AB的函数表达式为y=kx+b.\ $
$∵A(1,6)、B(6,1)两点在函数y=kx+b的图像上，\ $
$∴\begin{cases}{k+b=6,}\\{6k+b=1,}\end{cases}解得\begin{cases}{k=-1,}\\{b=7.}\end{cases}\ $
$∴直线AB的函数表达式为y=-x+7.$
$(2)3个.$
$(2,4)(3,3)(4,2)$
