解：$(1)$物块的体积$V=l^3=(0.1\ \mathrm {m})^3=1×10^{-3}\ \mathrm {m^3}；$
物块处于题图甲所示状态时，所受浮力
$F_{浮}=ρ_{水}V_{排}g=ρ_{水} \frac {1}{2}Vg=1×10^3\ \mathrm {kg/m}^3× \frac {1}{2} ×1×10^{-3}\ \mathrm {m^3}×10\ \mathrm {N/kg}=5\ \mathrm {N}. $
$(2) $对题图甲中的物块受力分析知物块的重力
$G=F_{浮}-F_{拉}=5\ \mathrm {N}-3\ \mathrm {N}=2\ \mathrm {N}；$
由公式$G=mg$得物块的质量
$m_{物}=\frac {G}{g}=\frac {2\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}}=0.2\ \mathrm {kg }$
物块的密度
$ρ=\frac {m_{物}}{V}=\frac {0.2\ \mathrm {kg}}{1×10^{-3}\ \mathrm {m^3}}=0.2×10^3\ \mathrm {kg/m}^3.$
$(3)$当物块刚好浸没时容器中水的深度为绳子的长度与物块的边长之和，
即此时水的深度$h=10\ \mathrm {cm}+10\ \mathrm {cm}=20\ \mathrm {cm}.$
当剪断细绳后物块漂浮时排开的水的体积
$V_排'=\frac {G}{ρ_水g}=\frac {2\ \mathrm {N}}{1×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}}=2×10^{-4}\ \mathrm {m^3}；$
当剪断细绳时，水面下降的高度
$∆h = \frac {V-V_{排}'}{S_{容}}=\frac {1×10^{-3}\ \mathrm {m^3}-2×10^{-4}\ \mathrm {m^3}}{2×10^{-2}\ \mathrm {m^2}}=0.04\ \mathrm {m}=4\ \mathrm {cm}；$
水面下降后水的深度$h'=h-∆h=20\ \mathrm {cm}-4\ \mathrm {cm}=16\ \mathrm {cm}.$
