解：$(1) $杯子的重力$ G=mg=0.21\ \mathrm {kg}×10\ \mathrm {N/kg}=2.1\ \mathrm {N}，$
因为杯子漂浮在水面上，所以$F_浮=G=2.1\ \mathrm {N}. $
$(2) $杯子排开水的体积
$V_排=\frac {F_浮}{ρ_水g}=\frac {2.1\ \mathrm {N}}{1×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}}=2.1×10^{-4}\ \mathrm {m^3}$
杯子浸入水中的深度
$h=\frac {V_{排}}{S}=\frac {2.1×10^{-4}\ \mathrm {m^3}}{30×10^{-4}\ \mathrm {m^2}}=0.07\ \mathrm {m}=7\ \mathrm {cm}. $
$(3)$当杯子装入物体$A，$浸入水中的深度是$10\ \mathrm {cm}$时，受到的浮力
$F_{浮}'=ρ_{水}gV_{排}'=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×30×10^{-4}\ \mathrm {m^2}×0.1\ \mathrm {m}=3\ \mathrm {N}，$
杯子与物块$A$作为一个整体，漂浮在水中，所以$G_A+G_杯=F_浮'，$
$G_A=F_{浮}'-G_{杯}=3\ \mathrm {N}-2.1\ \mathrm {N}=0.9\ \mathrm {N}，$
所以物块$A$的质量
$m=\frac {G_A}{g}=\frac {0.9\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}}=0.09\ \mathrm {kg}$
$ (4)$当杯子下沉的深度为$0.15\ \mathrm {m}$时，此时杯子受到的浮力最大，
$F_{浮大}=ρ_{水}gV_{排大}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×30×10^{-4}\ \mathrm {m^2}×0.15\ \mathrm {m}=4.5\ \mathrm {N}，$
即：$F=F_{浮大}-F_{浮}= 4.5\ \mathrm {N}-2.1\ \mathrm {N}=2.4\ \mathrm {N}，$
则此浮力秤的最大称量值
$m_{\mathrm {max}} =\frac {G}{g}=\frac {F}{g}=\frac {2.4\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}}=0.24\ \mathrm {kg}=240\ \mathrm {g}.$
