第59页 - 江苏版实验班提优训练数学八年级上下册答案

$证明:(1)由折叠性质可知∠AEF=∠CEF，$

$由矩形性质可得AD//BC，\ $

$∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，$

$∴AE=AF，∴△AEF为等腰三角形.$

$解:(2)由折叠可得AE=CE.$

$ 设CE=x=AE，则BE=BC-CE=8-x.$

$ ∵∠B=90°，∴在Rt△ABE中，$

$AB²+BE²=AE²，即4²+(8-x)²=x².解得x=5.$

$ 由(1)可得AF=AE=5，$

$ ∴FD=AD-AF=BC-AF=8-5=3.$

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$解:如图，连接BD、BQ，\ $

$∵四边形ABCD是菱形，$

$∴CB=CD=2，∠A=∠BCD=60°，$

$∴△BDC为等边三角形.\ $

$∵Q为CD中点，$

$∴CQ=1，BQ⊥CD，$

$∴根据勾股定理，$

$得BQ= \sqrt{3}，QB⊥PB.\ $

$∵∠QPB=45°，$

$∴△PBQ为等腰直角三角形，\ $

$∴根据勾股定理，$

$得PB=\sqrt {3} ，PQ=\sqrt {6} .\ $

$由翻折的性质可得$

$∠BPB'=90°，PB=PB'，$

$∴根据勾股定理，得BB'=\sqrt {6} .$

$同理CQ=1，\ $

$∴C'Q=1.\ $

$∴S_{四边形BB'C'C} =2S_{梯形PBCQ} -S_{△PBB'} +S_{△CQC'} =2×\frac{1}{2}×(2+\sqrt {3} )×\sqrt{3}-\frac{1}{2}×( \sqrt{3})²+\frac{1}{2}×1²=2\sqrt{3}+2.$

$故四边形BB'C'C的面积为2\sqrt{3}+2.$

$解:∵四边形ABCD是矩形，\ $

$∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3.\ $

$当点D与点F重合时，CF的最大值为3，如图(1)所示；\ $

$当点B与点E重合时，CF最小，如图(2)所示.\ $

$在Rt△ABG中，$

$∵BG=BC=5，AB=3，$

$∴AG= \sqrt{BG²-AB²}=4.$

$∴DG=AD-AG=1.\ $

$设CF=FG=x.$

$在Rt△DFG中，\ $

$∵DF²+DG²=FG²，$

$∴(3-x)²+1²=x².$

$∴x=\frac{5}{3}.$

$∴\frac{5}{3}≤CF≤3.\ $

$解:∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，\ $

$∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE.\ $

$在△ADG和△ABE中，\ $

$\begin{cases}{\ AD=AB,}\ \\ {\ ∠DAG=∠BAE,\ } \\{AG=AE,}\end{cases}\ $

$∴△ADG≌△ABE(SAS)，$

$∴∠AGD=∠AEB.\ $

$如图，延长EB交DG于点H.\ $

$在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，\ $

$∴∠AEB+∠ADG=90°.\ $

$在△DEH中，$

$∵∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，$

$∴∠DHE=90°，即DG⊥BE.$

$解:∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，\ $

$∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，\ $

$∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，\ $

$∴∠DAG=∠BAE.\ $

$在△ADG和△ABE中，\ $

$\begin{cases}{ AD=AB, }\ \\ {\ ∠DAG=∠BAE, } \\{AG=AE,}\end{cases}\ $

$∴△ADG≌△ABE(SAS)，\ $

$∴DG=BE.\ $

$如图，过点A作AM⊥DG交DG于点M，$

$则∠AMD=∠AMG=90°.\ $

$∵BD是正方形ABCD的对角线，\ $

$∴∠MDA=∠MAD=∠MAB=45°，\ $

$BD= \sqrt{(\sqrt{2})²+(\sqrt{2})²}=2.$

$∴AM=\frac{1}{2} BD=1.\ $

$在Rt△AMG中，$

$∵AM²+GM²=AG²,\ $

$∴GM=\sqrt{(\sqrt{5})²-1}=2.$

$∵DG=DM+GM=1+2=3，\ $

$∴BE=DG=3.$